Skip to Content

zajeboska pi

 

 

 

liczba pi

Wisława Szymborska
Liczba Pi
 
Podziwu godna liczba Pi
trzy koma jeden cztery jeden.
Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe
pięć dziewięć dwa
, ponieważ nigdy się nie kończy.
Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem,
osiem dziewięć obliczeniem,
siedem dziewięć
wyobraźnią,
a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem
cztery sześć do czegokolwiek
dwa sześć cztery trzy
na świecie.
Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa.
Podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.
Korowód cyfr składających się na liczbę Pi
nie zatrzymuje się na brzegu kartki,
potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze,
przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,
przez całą nieba wzdętość i bezdenność.
O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety!
Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni!
A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście
mój numer telefonu twój numer koszuli
rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro
ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy
obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr,
w którym słowiczku mój a leć, a piej
oraz uprasza się zachować spokój,
a także ziemia i niebo przeminą,
ale nie liczba Pi, co to to nie,
ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć,
nie byle jakie osiem
,
nie ostatnie siedem,
przynaglając, ach przynaglając gnuśną wieczność
do trwania.

 

    Liczba... Potrafi fascynować, rodzić obsesję. Drażnić. Budzić podziw.

„Dzika” liczba π... Liczba - opisująca najdoskonalszy kształt nie istnieje - jako liczba niewymierna nie da się zapisać... Archimedes, Liu Hui, Brahmagupta, Leibniz, Ceulen... I wielu późniejszych matematyków próbowało ją okiełznać, „wyliczyć”. Zadziwiająca jest chęć udowodnienia, że można ją pokazać...

    Liczba π, ludolfina, stała Archimedesa – to stała matematyczna, wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki, fizyki i astronomii. Jej definicja „euklidesowa” mówi, że π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Inna definicja określa ją jako pole koła o promieniu równym 1.

Symbol π wprowadził w 1706 roku matematyk William Jones (π jest pierwszą literą greckiego słowa perimetron - obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler.

π jest liczbą niewymierną, czyli taką, która nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Jest także liczbą przestępną - nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem (udowodnił to w 1882 roku Ferdinand Lindemann). W rezultacie - nie jest możliwe zapisanie ludolfiny za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków.

symbol pi      Te własności powodują, że niemożliwa jest klasyczna (wyłącznie przy pomocy cyrkla i linijki) konstrukcja kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła - problem ten zwany jest kwadraturą koła.

Możemy za to zdefiniować π za pomocą nieskończonego iloczynu: jeśli liczbę parzystą podzielimy przez nieparzystą, a później tę samą parzystą przez kolejną nieparzystą, po czym następną parzystą przez tę samą nieparzystą co poprzednio (czyli 2/1, 2/3, 4/3, 4/5, 6/5, 6/7 itd.) to po wymnożeniu ich wyników otrzymujemy połowę liczby π.

Wielu ludzi pasjonuje się π, bo sądzą że można związać z nią zdarzenia losowe. Pierwszą pasją francuskiego przyrodnika Georgesa-Louisa Leclerca, Comte de Buffon była matematyka. W 1733 roku rozwiązał on wielki problem prawdopodobieństwa geometrycznego, znany obecnie jako „igła Buffona”. Chodziło o wyliczenie prawdopodobieństwa, że igła upuszczona na powierzchnię pokrytą równoległymi liniami przetnie dwie linie, a wymaga to oszacowania wartości π. Buffon zainteresował się tym problemem, kiedy próbował wyliczyć szansę wygrania w popularnej grze hazardowej.

    Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby π pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic, datowanej na lata 1900-1680 p.n.e. pojawia się opis wartości obwodu koła o średnicy równej 1, przybliżony przez wartość 3,125.

W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie π z dokładnością do czterech miejsc po przecinku. Przypadek, czy geniusz egipskich uczonych?

Na pochodzącym sprzed 1650 roku p.n.e. egipskim papirusie Rhinda, autorstwa króla Ahmesa zatytułowanym „Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach”można znaleźć odniesienia do wartości liczby π, przybliżanej do wartości 3,1604.

W Drugiej Księdze Kronik (Biblia Tysiąclecia, rozdział 4, werset 2) pochodzące z V - IV w. p.n.e. znajdujemy słowa:

Następnie sporządził odlew okrągłego "morza" o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci.

Z opisu wynika, iż wykonawca "morza" przyjął oszacowanie π= 3.

Archimedes, który był prawdopodobnie pierwszym matematykiem badającym własności liczby π w III w p.n.e. oszacował ją z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Pisał tak:

 W każdym kole długość obwodu jest większa niż trzykrotna długość średnicy o mniej niż jedną siódmą, ale więcej niż dziesięć siedemdziesiątych pierwszych.

Użył do tego metody bazującej na zależnościach geometrycznych, metody pozwalającą oszacowywać π z dowolną dokładnością, przez zastąpienie okręgu jego przybliżeniem - wielokątem foremnym.

Metoda ta okazała się metodą najlepszą, i często niezależnie od prac Archimedesa wykorzystywaną przez późniejszych matematyków.

Liu Hui, chiński matematyk żyjący w III wieku naszej ery, metodą Archimedesa dla wieloboków o 3072 bokach ustalił przybliżoną wartość liczby π na 3,1415.

Zu Chongzhi, astronom cesarza Chin około 500 roku n.e. podał dwa przybliżenia liczby π: najpierw jako iloraz 22/7oraz później, jako iloraz 355 i 113. To ostatnie było najlepszym znanym ludzkości przybliżeniem wartości liczby π do XV w., dodatkowo łatwym do zapamiętania: 11-33-55. Użył on – metody Archimedesa.

Brahmagupta - hinduski matematyk, sto lat później (około 600 roku n.e.), podał inne przybliżenie wartości π - stosując własności 12, 24, 48 i 96-boków,

W 1400 roku hinduski matematyk Madhava jako pierwszy w historii do obliczenia wartości π użył ciągów nieskończonych. W istocie odkrył on wzór, do którego Leibniz doszedł w 1674 roku. Od tego czasu do obliczania wartości π zaczęto używać ciągów nieskończonych - zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji arcus sinuslub arcus tangensw szereg.

wzór pi

Mimo to w 1596 roku Ludolph van Ceulen podał przybliżenie π z dokładnością do 35. miejsca po przecinku, używając do tego metody Archimedesa (podstawą obliczeń był wielokąt o 262 bokach). Ceulen większość swojego życia poświęcił próbom coraz lepszego przybliżenia π, zwanej od jego imienia ludolfiną- wartość ta została wyryta na jego płycie nagrobkowej.

Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości π sięgające kilkuset miejsc po przecinku (Rutherford w 1853 roku - 440 miejsc po przecinku; Shanks w 1874 roku - 527 miejsc po przecinku). W 1946 roku Ferguson podał wartość π do 620. miejsca po przecinku. W końcowych obliczeniach wspomagał się już kalkulatorem. Od 1949, kiedy to przy pomocy komputera ENIAC obliczono 2037 miejsc po przecinku, dokładniejsze aproksymacje liczby π uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. We wrześniu 1999 roku obliczono π z dokładnością 2,0615ˇ1011 miejsc po przecinku.

W 2009 roku Fabrice Bellard ogłosił, że udało mu się obliczyć π z dokładnością do 2 699 999 990 000 miejsc po przecinku. Obliczenia, ze sprawdzeniem, zajęły 131 dni, a użyto do nich komputera z procesorem Intel Core (2,93 GHz) i 6 GB RAM. Sam zapis dziesiętny zajął 1137 GB.

    Uczeni wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π. Wyścig, w którym chcemy „przyłapać” ludolfinę na skończoności przybrał rozmiar galaktyczny. Poczytaliby Szymborską: „a także ziemia i niebo przeminą, ale nie liczba Pi, co to to nie”.