zajeboska pi

    Liczba... Potrafi fascynować, rodzić obsesję. Drażnić. Budzić podziw.

„Dzika” liczba π... Liczba - opisująca najdoskonalszy kształt nie istnieje - jako liczba niewymierna nie da się zapisać... Archimedes, Liu Hui, Brahmagupta, Leibniz, Ceulen... I wielu późniejszych matematyków próbowało ją okiełznać, „wyliczyć”. Zadziwiająca jest chęć udowodnienia, że można ją pokazać...

    Liczba π, ludolfina, stała Archimedesa – to stała matematyczna, wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki, fizyki i astronomii. Jej definicja „euklidesowa” mówi, że π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Inna definicja określa ją jako pole koła o promieniu równym 1.

Symbol π wprowadził w 1706 roku matematyk William Jones (π jest pierwszą literą greckiego słowa perimetron - obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler.

π jest liczbą niewymierną, czyli taką, która nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Jest także liczbą przestępną - nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem (udowodnił to w 1882 roku Ferdinand Lindemann). W rezultacie - nie jest możliwe zapisanie ludolfiny za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków.

      Te własności powodują, że niemożliwa jest klasyczna (wyłącznie przy pomocy cyrkla i linijki) konstrukcja kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła - problem ten zwany jest kwadraturą koła.

Możemy za to zdefiniować π za pomocą nieskończonego iloczynu: jeśli liczbę parzystą podzielimy przez nieparzystą, a później tę samą parzystą przez kolejną nieparzystą, po czym następną parzystą przez tę samą nieparzystą co poprzednio (czyli 2/1, 2/3, 4/3, 4/5, 6/5, 6/7 itd.) to po wymnożeniu ich wyników otrzymujemy połowę liczby π.

Wielu ludzi pasjonuje się π, bo sądzą że można związać z nią zdarzenia losowe. Pierwszą pasją francuskiego przyrodnika Georgesa-Louisa Leclerca, Comte de Buffon była matematyka. W 1733 roku rozwiązał on wielki problem prawdopodobieństwa geometrycznego, znany obecnie jako „igła Buffona”. Chodziło o wyliczenie prawdopodobieństwa, że igła upuszczona na powierzchnię pokrytą równoległymi liniami przetnie dwie linie, a wymaga to oszacowania wartości π. Buffon zainteresował się tym problemem, kiedy próbował wyliczyć szansę wygrania w popularnej grze hazardowej.

    Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby π pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic, datowanej na lata 1900-1680 p.n.e. pojawia się opis wartości obwodu koła o średnicy równej 1, przybliżony przez wartość 3,125.

W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie π z dokładnością do czterech miejsc po przecinku. Przypadek, czy geniusz egipskich uczonych?

Na pochodzącym sprzed 1650 roku p.n.e. egipskim papirusie Rhinda, autorstwa króla Ahmesa zatytułowanym „Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach”można znaleźć odniesienia do wartości liczby π, przybliżanej do wartości 3,1604.

W Drugiej Księdze Kronik (Biblia Tysiąclecia, rozdział 4, werset 2) pochodzące z V - IV w. p.n.e. znajdujemy słowa:

Następnie sporządził odlew okrągłego "morza" o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci.

Z opisu wynika, iż wykonawca "morza" przyjął oszacowanie π= 3.

Archimedes, który był prawdopodobnie pierwszym matematykiem badającym własności liczby π w III w p.n.e. oszacował ją z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Pisał tak:

 W każdym kole długość obwodu jest większa niż trzykrotna długość średnicy o mniej niż jedną siódmą, ale więcej niż dziesięć siedemdziesiątych pierwszych.

Użył do tego metody bazującej na zależnościach geometrycznych, metody pozwalającą oszacowywać π z dowolną dokładnością, przez zastąpienie okręgu jego przybliżeniem - wielokątem foremnym.

Metoda ta okazała się metodą najlepszą, i często niezależnie od prac Archimedesa wykorzystywaną przez późniejszych matematyków.

Liu Hui, chiński matematyk żyjący w III wieku naszej ery, metodą Archimedesa dla wieloboków o 3072 bokach ustalił przybliżoną wartość liczby π na 3,1415.

Zu Chongzhi, astronom cesarza Chin około 500 roku n.e. podał dwa przybliżenia liczby π: najpierw jako iloraz 22/7oraz później, jako iloraz 355 i 113. To ostatnie było najlepszym znanym ludzkości przybliżeniem wartości liczby π do XV w., dodatkowo łatwym do zapamiętania: 11-33-55. Użył on – metody Archimedesa.

Brahmagupta - hinduski matematyk, sto lat później (około 600 roku n.e.), podał inne przybliżenie wartości π - stosując własności 12, 24, 48 i 96-boków,

W 1400 roku hinduski matematyk Madhava jako pierwszy w historii do obliczenia wartości π użył ciągów nieskończonych. W istocie odkrył on wzór, do którego Leibniz doszedł w 1674 roku. Od tego czasu do obliczania wartości π zaczęto używać ciągów nieskończonych - zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji arcus sinuslub arcus tangensw szereg.

Mimo to w 1596 roku Ludolph van Ceulen podał przybliżenie π z dokładnością do 35. miejsca po przecinku, używając do tego metody Archimedesa (podstawą obliczeń był wielokąt o 2⁶² bokach). Ceulen większość swojego życia poświęcił próbom coraz lepszego przybliżenia π, zwanej od jego imienia ludolfiną- wartość ta została wyryta na jego płycie nagrobkowej.

Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości π sięgające kilkuset miejsc po przecinku (Rutherford w 1853 roku - 440 miejsc po przecinku; Shanks w 1874 roku - 527 miejsc po przecinku). W 1946 roku Ferguson podał wartość π do 620. miejsca po przecinku. W końcowych obliczeniach wspomagał się już kalkulatorem. Od 1949, kiedy to przy pomocy komputera ENIAC obliczono 2037 miejsc po przecinku, dokładniejsze aproksymacje liczby π uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. We wrześniu 1999 roku obliczono π z dokładnością 2,0615ˇ10¹¹ miejsc po przecinku.

W 2009 roku Fabrice Bellard ogłosił, że udało mu się obliczyć π z dokładnością do 2 699 999 990 000 miejsc po przecinku. Obliczenia, ze sprawdzeniem, zajęły 131 dni, a użyto do nich komputera z procesorem Intel Core (2,93 GHz) i 6 GB RAM. Sam zapis dziesiętny zajął 1137 GB.

    Uczeni wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π. Wyścig, w którym chcemy „przyłapać” ludolfinę na skończoności przybrał rozmiar galaktyczny. Poczytaliby Szymborską: „a także ziemia i niebo przeminą, ale nie liczba Pi, co to to nie”.