Skip to Content

złote liczby

pięciokwiat

Dianthus superbus goździk pyszny
fot. Bernd Haynold

    Liczby w zadziwiający sposób wpływają na nasze życie. Najczęściej nie zdajemy sobie sprawy, że poza codziennością, w której określają długość naszego kroku, pojemność płuc czy wartość konta bankowego - potrafią także określić, co będzie piękne, harmonijne, a co nie. Te same liczby, świadczące o harmonii odnajdujemy w przyrodzie.

    Najważniejszą z nich jest liczba, słusznie nazwana złotą. Wyraża ona zależność, którą odnajdujemy w kształcie Drogi Mlecznej, budowie szyszki, płatkach kwiatów, ale i Partenonie, katedrach gotyckich, obrazach Leonarda da Vinci, wiolonczelach Stradivariusa czy sonatach Mozartach. Wielka Piramida Cheopsa jest zbudowana według niej: dzieląc całkowitą powierzchnię piramidy przez powierzchnię jej boków, łączną powierzchnię boków przez powierzchnię podstawy lub też wysokość boku budowli przez połowę długości boku jej podstawy, za każdym razem uzyskujemy wartość złotej liczby!

    Złota liczba wyznacza złoty podział (sectio aurea) nazywany również podziałem harmonicznym, boską proporcją (divina proportio) i złotym cięciem.

Jest to podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Ten właśnie stosunek nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ

konstrukcja złotego podziału    Jeden z wielu sposobów wyznaczenia złotego podziału polega na zbudowaniu kwadratu o dowolnie wybranym boku a, wyznaczeniu środka jednego z boków kwadratu, np. dolnego boku, zaznaczeniu odcinka łączącego środek boku z końcem boku przeciwległego i odłożeniu go ze środka boku na prostej, w której zawiera się ten bok. (czynność na rysunku zaznaczona łukiem okręgu). Część odłożonego odcinka, która nie należy do boku kwadratu, wyznacza szukaną długość b.

    Długości początkowego odcinka a i znalezionego b pozostają w złotym stosunku, a/b=φ, wyznaczają więc złoty podział skonstruowanego odcinka a+b. Złota liczba ma stałą wartość równą połowie wyrażenia 1+sqrt(5), w przybliżeniu: 1,618033989.

    Ze złotym podziałem związany jest matematyk grecki, Pitagoras z Samos. Jego słynne twierdzenie dało podstawę do wyznaczenia konstrukcyjnie złotej liczby. Opisał pięciokąt foremny i gwiazdę pięcioramienną wyznaczoną przez przekątne tego pięciokąta. Gwiazdę tę nazywamy pentagramem. Stosunki odcinków zawartych w krawędziach pentagramu wyznaczają złotą liczbę.

    W 1202 roku matematyk Leonardo z Pizy, zwany Fibonacci na podstawie obserwacji wzrostu roślin odkrył ciąg liczbowy, zwany teraz ciągiem Fibonacciego. Rządzi nim prosta zasada mówiąca, że każda liczba całkowita w ciągu jest sumą poprzednich dwóch liczb: 1, 1, (1+1)=2, (2+1)=3, (3+2)=5, (5+3)=8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 itd. Ciąg ten, gdy podzielimy którąkolwiek z liczb ciągu przez jej poprzedniczkę, otrzymamy φ! A im wyższa jest wartość liczb, tym wynik jest dokładniejszy, np. 8 : 5 = 1,6000000, 13 : 8 = 1,6250000, ale już: 377 : 233 = 1,6180257.

    Złoty podział ma kilka wyjątkowych właściwości matematycznych:

  • aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę,
  • aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę,
  • Punkt przecięcia przekątnych w pięciokącie foremnym dzieli je według złotego podziału,
  • bok a pięciokąta foremnego stanowi złotą część jego przekątnej,
  • bok dziesięciokąta foremnego ma długość równą długości dłuższego odcinka otrzymanego ze złotego podziału promienia okręgu opisanego na tym dziesięciokącie.
  • złoty prostokąt – to prostokąt którego boki pozostają w złotym stosunku - po dorysowaniu do niego kwadratu o boku równym dłuższemu bokowi prostokąta otrzymuje się nowy, większy złoty prostokąt.

    Gdy rozejrzymy się wokół siebie, ujrzymy, że przyroda i my sami jesteśmy namacalnym dowodem potęgi Świętego Podziału. Okazuje się, że rośliny o 5-płatkowych kwiatach dominują w przyrodzie (różnych gatunków takich kwiatów jest więcej niż tych o dowolnej innej liczbie płatków). Wszystkie mają tę własność, że odległość między co drugim płatkiem podzielona przez odległość między sąsiednimi płatkami jest liczbą złotą.

kwiat słonecznika    Pewne jej elementy znajdziemy także, na przykład, w układzie nasion w owocach wielu gatunków roślin, łusek na owocach ananasa i szyszkach sosny. Te i inne przykłady z dziedziny botaniki, jak odkryto, wyrażają boską proporcję jeszcze w inny sposób, a mianowicie poprzez liczby z ciągu Fibonacciego. Na przykład, na owocostanie typowego słonecznika układ nasion bardzo często odpowiada następującemu wzorowi: 89 spiral odchodzących ciasno w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, 55 - przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara i wreszcie 34 znacznie mniej ciasno zgodnie z zegarem. Powyższe liczby stoją obok siebie w ciągu Fibonacciego. Największy znany słonecznik miał spirale dające się odpowiednio opisać wzorem: 144/89/55.

    U wielu gatunków roślin, zwłaszcza z rodziny Astemceae (takich jak słoneczniki, stokrotki itp.) ilość płatków każdego kwiatostanu to zwykle liczba Fibonacciego, na przykład 5, 13, 55, a nawet 377, jak u przypołudnika. Łuski szyszki sosny układają się w dwie serie spiral od ogonka w górę - jedna zgodnie z ruchem wskazówek zegara, druga przeciwnie. Przebadano ponad 4000 szyszek dziesięciu gatunków sosny i stwierdzono, że ponad 98 procent posiadało ilość spiral w obu kierunkach zgodną z liczbą Fibonacciego. Co więcej, liczby te w ciągu leżały obok siebie lub bardzo blisko, to znaczy, na przykład, 8 spiral w jedną stronę, 13 w drugą albo 8 w jedną, 21 w drugą. Łuski owocostanu ananasa wykazują jeszcze mniejszą zmienność w zjawiskach Fibonacciego: z 2000 prób typowych ananasów żaden nie stanowił wyjątku od tej reguły. Liczby Fibonacciego odnajdziemy często także w ułożeniu liści na pędzie u roślin wyższych. U wielu drzew, zależnie od gatunku, co drugi, co trzeci, co piąty, co ósmy lub co trzynasty liść wyrasta w tym samym kierunku.

    Złote proporcje możemy znaleźć również w wymiarach ciała mężczyzny. Dwie części całego ciała oddzielone linią pępka pozostają w "boskiej proporcji", podobnie jak wysokość głowy do górnej części tułowia.

     Te odkrycia z dziedziny botaniki, zoologii i astronomii nie zdziwiłyby starożytnych Greków, którzy byli przekonani o geometrycznej harmonii wszechświata.

Skoro złoty podział i liczby Fibonacciego występują tak często w przyrodzie, spodziewać się można, że zagoszczą one również w sztuce, będącej imitacją i czerpiącej kryteria piękna właśnie z natury.

apollo belwederski    Zasada złotego podziału znana od starożytności, znalazła zastosowanie w architekturze antycznej, romańskiej oraz w sztuce renesansu i klasycyzmu.
Okna w budowlach w stylu renesansowym (szerokość do wysokości była w stosunku 5 : 8). Renesansowe pałace włoskie, np. Palazzo Strozzi, Palazzo Rucelai, Santa Maria Novella, czy Kaplica Palazzo Vendrai. Spośród artystów stosujących φ wymienić należy Albrechta Durera, Georgesa Seurata, Paula Signaca a wcześniej - oczywiście Leonarda da Vinci (warto przyjrzeć się obrazowi „Madonna z dzieciątkiem”). Słynny Stradivarius korzystał ze złotego podziału podczas konstruowania swoich najlepszych wiolonczeli. Większość sonat Mozarta podzielona była na dwie części dokładnie z zachowaniem złotej harmonii. Badacze odnajdowali złote proporcje w Piątej Symfonii Beethovena oraz w muzyce takich wirtuozów jak Bartok, Debussy, Schubert i Satie.

    W XX w. złoty podział stanowił składnik estetyki ugrupowań awangardowych, np. Section d’Or, De Stijl czy architekta Le Corbusiera. Zasada złotego podziału obecna jest nie tylko w formach plastycznych, jako element kompozycji wyznaczając tzw. mocne punkty dzieła, ale także w utworach o charakterze czasoprzestrzennym; w dziełach o zrównoważonej, klasycznej budowie, mocne punkty występują w „odległości” ok. 0,618 części czasu trwania akcji od początku fabuły, ale są także obecne w „odległości” 0,372, czyli w 0,618 części od jej końca; oznacza to, że reżyser np. filmu, komponując całe dzieło, świadomie lub podświadomie (ale zgodnie z organiczną zasadą wzrostu) umieszcza tam zawiązanie akcji a po ok. 2/3 dzieła jego kulminację; odbiorca zaś dokonuje ich mentalną rekonstrukcję po obejrzeniu całości. Oznaczać to może, że matematyczna zasada złotego podziału rządzi nie tylko naszym odczuwaniem proporcji i harmonii, ale także wyczuciem czasu!

 

    Liczby w zadziwiający sposób wpływają na nasze życie. Bądźmy uważni. Przyglądajmy się im, bo być może mówią nam więcej, niż - jaka jest długość naszego kroku czy pojemność płuc...